matematica

''propociciones logicas''

Hasta ahora nos hemos referido a las letras y esquemas sentenciales sin tener en cuenta si eran verdaderas o falsas. Un principio que establecer es este:

P1. Todo enunciado es verdadero o falso

    Este principio significa que a todo enunciado se le puede asignar uno de los siguientes predicados: verdadero o falso, y lo simbolizaremos con las letras V o F, respectivamente.

    Otro principio es:

P2. Los valores de verdad de cualquier fórmula  molecular (esquema sentencial) están determinados por los valores de verdad de las fórmulas componentes

    Con la ayuda de estos principios se pueden formar las llamadas TABLAS DE VERDAD, las cuales se usan para determinar de un modo sistemático la verdad o falsedad de las fórmulas.

    Comenzaremos con las tablas de verdad correspondientes a las conectivas lógicas presentadas anteriormente.

1.     La tabla de verdad para una sola letra sentencial es:

Lo cual indica que dada una letra sentencial hay para ella 2 posibilidades, una que sea verdadera y otra que sea falsa.

2.    La tabla de verdad para 2 letras sentenciales es:

Lo cual indica que dadas 2 letras sentenciales hay para ellas 2² posibles combinaciones y en general para n letras, hay 2ⁿ combinaciones.

3.    La tabla de verdad para p v q es:

Lo cual indica que la conjunción de p y q es verdadera si y sólo si p y q son verdaderas, de otra manera p v q es falsa.

4.    La tabla de verdad para p w q es:

Lo cual indica que la disyunción de p o q será verdadera si y sólo si p o q o ambas son verdaderas. De otra manera p w q es falsa.

5.     La tabla de verdad para la disyunción exclusiva es:

Lo cual indica que la disyunción de p r q será verdadera si y sólo si p o q son verdaderas, pero no ambas.

6.    La tabla de verdad de p 6 q es:

Sólo en este caso, a la letra sentencial p se le denomina antecedente y a la letra sentencial q se le denomina consecuente.

Por tanto, la tabla de verdad para p 6 q establece que solamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, la fórmula será falsa y en todos los demás casos es verdadera.

7.     La tabla de verdad para  p  º q   o  p ø q es:

Lo cual indica que la bicondicional p  º q será verdadera si y sólo si ambas componentes tienen el mismo valor de verdad.

Obsérvese que las tablas de verdad 5 y 7 se complementan entre sí; por tal razón se utiliza para la bicondicional el símbolo de la relación de equivalencia º y para la disyunción exclusiva ¹, esto es porque una es el complemento de la otra.

8.    La tabla de verdad para no p (p')es:

Lo cual indica que cuando una fórmula es verdadera, su negación es falsa y viceversa.

        Las tablas de verdad, como se mencionó anteriormente, se construyen para comprobar metódicamente el valor de verdad de las fórmulas o para verificar la relación de equivalencia (igualdad) de las fórmulas.

    A continuación se presentan algunos ejemplos:

1.    Demostrar que p 6 q = p' w q

SOLUCIÓN

2.    Demostrar que (p º q) = (p 6 q) v (q 6 p)

SOLUCIÓN

3.    Dada la siguiente fórmula, determine sus valores de verdad:

            [(p v q) 6 p]'

SOLUCIÓN

4.    Dada la fórmula siguiente, determinar sus valores de verdad:

       [(p 6 q) v (q 6 r)] 6 (p 6 r)

SOLUCIÓN

4. TAUTOLOGÍA

    Se puede observar que al construir las tablas de verdad en los ejemplos anteriores, se presentaron tres casos:

1.    La tabla de verdad de la fórmula dada contenía tantos verdaderos (V) como falsos (F)

2.    La tabla de verdad de la fórmula dada contenía sólo falsos (F)

3.    La tabla de verdad de la fórmula dada contenía sólo verdaderos (V)

    La fórmula del primer tipo se denomina indeterminada. Las fórmulas del segundo tipo se denominan contradicciones y las del tercer tipo se denominan tautologías o fórmulas sentencialmente válidas.

1. IDENTIDAD:                        p 6 p ; p º p
2. CONTRADICCIÓN:             [p v (p')]'
3. TERCERO EXCLUIDO:      [p w (p')]

   Lo cierto es que en esta parte, la tautología se usará para determinar la validez de un argumento.

        Un argumento es un enunciado en el cual, de un conjunto de premisas (A, B, C, D,..., etc.), se obtiene una premisa llamada conclusión Q. Cada premisa puede estar formada por una o más proposiciones.

    Luego entonces, se dice que un argumento es válido si la tabla de verdad formada de la siguiente manera:

(A v B v C v D ...) 6 Q; es una tautología

EJEMPLOS

        Encontrar si los argumentos siguientes son o no válidos:

1.     Si Marta fue al cine entonces Miguel fue al cine.
        Miguel fue al cine.
        Por tanto, Marta fue al cine.

SOLUCIÓN

     Determinamos cada una de las premisas, así como también la conclusión.

A = Si Marta fue al cine entonces Miguel fue al cine
B = Miguel fue al cine
Q = Marta fue al cine

     Pero como se dijo anteriormente, cada premisa puede estar formada por una o más proposiciones, por lo que se da el caso que la premisa A puede representarse sentencialmente de la siguiente manera:

p = Marta fue al cine
q = Miguel fue al cine

     Por tanto:

A = p 6 q
B = q
Q = p

     La fórmula queda:

[(p 6 q) v q] 6 p

     Si la tabla de verdad resulta una tautología, el argumento será válido.

     Como se observa de la tabla de verdad, el argumento no es válido, porque no se obtuvo una tautología.

2.    Al ejemplo anterior solamente se cambiará el orden de alguna de las premisas.

A = Si Marta fue al cine entonces Miguel fue al cine
B = Marta fue al cine
Q = Miguel fue al cine

SOLUCIÓN

     A = p 6 q
     B = p
     Q = q

     Por lo tanto, el argumento queda expresado como:

[(p 6 q) v p] 6 q

     El resultado obtenido es una tautología, y por tanto, el argumento es válido.

5.    TRADUCCIÓN DE ESPAÑOL A CONECTIVAS LÓGICAS

    Como se verá posteriormente, una de las partes más difíciles del diseño lógico, consiste en pasar del enunciado verbal del problema a una tabla funcional o a una expresión lógica. Para ayudar un poco con este problema, a continuación se presenta una tabla que contiene algunas de las conjunciones españolas más usadas y su traducción lógica.

6.    APLICACIONES

    En esta sección se tratan de resolver algunos ejemplos en donde se aplican los conceptos vistos en esta unidad.

1.    Como se mencionó en la sección 5, uno de los problemas más difíciles es pasar del enunciado a una tabla funcional y posteriormente encontrar los dispositivos adecuados para la realización física del problema expuesto. Uno de esos dispositivos son los sistemas de relevadores y contactores. A continuación se muestra la instrumentación de cada una de las conectivas con estos dispositivos.

1.1    NEGACIÓN

1.2    CONJUNCIÓN

1.3    DISYUNCIÓN INCLUSIVA

1.4    DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

1.5    CONDICIONAL

1.6    BICONDICIONAL

2.    Condiciones que deben reunirse para que sea posible fumar. Por una parte deben tenerse cerillos o encendedor, por otra parte, cigarrillos o una pipa y tabaco, pero no se debe estar en presencia de una atmósfera explosiva.

SOLUCIÓN

    Lo primero que hay que hacer es determinar las variables:

F = Posibilidad de fumar
C = Cerillos
E = Encendedor
B = Cigarros
P = Pipa
T = Tabaco
A = Atmósfera explosiva

Una vez determinadas las variables, hay que identificar las conectivas lógicas que enlazan a cada una de las variables (proposiciones atómicas) y formar la expresión lógica.

F = {(C w E) v [B w (P v T)]}  v A'

3.    Determine la expresión lógica que describe el siguiente problema:

    El flujo de agua que llega a una solución de salmuera que se emplea en un proceso químico, se cortará solamente si:

    a)    El tanque está lleno
    b)    La salida del tanque no se cierra, la concentración de sal no exceda al 2.5% y el nivel del agua no esté por debajo de un cierto nivel mínimo especificado

SOLUCIÓN

    Determinación de las variables:

    Q = Flujo de agua
    T = Tanque lleno
    S = Salida del tanque
    C = Concentración de sal no exceda el 2%
   N = Nivel mínimo de agua especificado

    La expresión lógica es:

Q' = T w (S' v C v N')

4.    En un banco, un sistema de alarma contra robo funcionará sólo si se activa el conmutador maestro en la estación de policía. De acuerdo a esta condición, la alarma sonará si la puerta de la bóveda es perturbada en cualquier forma, o si la puerta del banco se abre, a menos que primero se opere un interruptor especial, utilizando la llave del velador. La puerta de la bóveda está equipada con un sensor de vibración que hará que se cierre un interruptor cuando se perturbe dicha puerta, y se montará dicho interruptor sobre la puerta del banco, de tal manera que se cerrará siempre que la puerta del banco se abra.

SOLUCIÓN

    Determinación de las variables:

    I = Conmutador maestro de la policía activado
    P = Puerta de bóveda perturbada
    B = Puerta del banco abierta
    V = Interruptor general especial operado por el velador
    A = Alarma sonará

    La expresión queda:

A = I v [P w (B v V)]

5.    Considerando que se tienen dos letras sentenciales (variables), determinar:

a)    El número de combinaciones
b)    El número de resultados (funciones) de estas combinaciones
c)    Por medio de la construcción de una tabla, identificar cada función de acuerdo a las conectivas y tablas de verdad vistas anteriormente.

SOLUCIÓN

a)    Número de combinaciones igual a 2ⁿ

                  Si n = 2, entonces: No. de combinaciones = 4

b)    Número de funciones es igual a (2²)ⁿ

                  Si n = 2, entonces: No. de funciones = (2²)² = 16

c)    De a) y b), se obtiene la siguiente tabla:

De la tabla se observa que únicamente f₅ y f₁₂ son funciones no conocidas, pero identificando a cualquiera de ellas, automáticamente se identifica la otra, ya que son complementarias entre si.

Si aislamos f₅ y f₁₂:

Por tanto:

f₅ = p' v q        y         f₁₂ = (p' v q)' = p w q'

La pregunta obligada podría ser ¿cómo se obtuvo tal resultado? En realidad es muy fácil utilizando conceptos que se verán en minimización de funciones de conmutación, de otra manera tendría que utilizarse el método de prueba y error.

6.     Determinar la expresión lógica que representa el siguiente problema:

El contrato para la adquisición de la póliza #22, podría extenderse si el solicitante cumple las condiciones:

1.    Se le ha extendido la póliza #19 y es casado de sexo masculino, o
2.    Se le ha extendido la póliza #19 y es casado de menos de 25 años, o
3.    No se ha extendido la póliza #19 y es casada de sexo femenino, o
4.    Es de sexo masculino menor de 25 años, o
5.    Es casado de 25 años o mayor.

SOLUCIÓN

Como en los ejemplos anteriores, hay que determinar las variables y los elementos de enlace:

D = El solicitante tiene derecho a la póliza #22
P = Póliza #19
C = Casado
M = Sexo masculino
E =  Menor de 25 años

De acuerdo con las cinco condiciones, se tiene:

1.   P v C v M
2.   P v C v E
3.   P' v C v M'
4.   M v E
5.   C v E'

Finalmente:

D = (P v C v M) w (P v C v E) w (P' v C v M') w (M v E) w (C v E')

Escrito por thebigboss el 19/04/2007 22:48 | Comentarios (13)